WisFaq!

Omwentelingslichaam

Weet er iemand hoe je de volgende integraal moet oplossen, dus wat is de uitkomst, ik geraak er echt niet aan uit, kheb al verschillende methodes uitgeprobeerd, maar de opgave komt steeds moeilijker, of verdwijnt als ik wil 'terugkeren naar de opgave' met partiële integratie.

∫ {л · [e^-x · sin(x)]² } met ondergrens 0 en bovengrens л (=pi)

Dus in woorden de bepaalde integraal van het product van pi en het kwadraat van het product van e tot de -x en sinus x

Merci

Edit: voor de nieuwsgierigen het gaat over een vraagstuk waarbij je de grafiek e^-x · sin(x) moet wentelen rond de x-as en de inhoud berekenen van dit lichaam van 0 tot pi, daarvoor moet je dus de integraal berekenen van pi maal het kwadraat van de functie

Jote
24-1-2007

Antwoord

ik help je een eindje op weg met de primitieve van
(e^-x.sinx)²

(e^-x.sinx)² = e^-2x.sin²x
tevens geldt dat cos2x = cos²x-sin²x = 1-2sin²x
dus sin²x = ¹/₂-¹/₂cos2x

hieruit volgt dat
e^-2x.sin²x = e^-2x.(¹/₂-¹/₂cos2x)
= ¹/₂e^-2x - ¹/₂cos2x.e^-2x

ò(e^-x.sinx)²dx = ò¹/₂e^-2x - ¹/₂cos2x.e^-2xdx
= [-¹/₄e^-2x] -¹/₂òcos2x.e^-2xdx

we focussen ons nu even op die laatste integraal:
òcos2x.e^-2xdx (partieel integreren)
= [-¹/₂cos2x.e^-2x] - òsin2x.e^-2xdx
= [-¹/₂cos2x.e^-2x] - {[-¹/₂sin2x.e^-2x]+òcos2x.e^-2xdx
= [-¹/₂cos2x.e^-2x] + ¹/₂sin2x.e^-2x] - òcos2x.e^-2xdx
... maar nu lijkt het alsof we weer terug bij af zijn want we hebben nu uiteindelijk weer een integraal met cos2x.e^-2x erin, waar we ook mee begonnen waren.
De uitweg is door de eerste en de laatste stap van de vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen:
òcos2x.e^-2xdx = [-¹/₂cos2x.e^-2x] + ¹/₂sin2x.e^-2x] - òcos2x.e^-2xdx
Û 2.òcos2x.e^-2xdx = [-¹/₂cos2x.e^-2x] + ¹/₂sin2x.e^-2x]
Û òcos2x.e^-2xdx = ¹/₂.[-¹/₂cos2x.e^-2x] + ¹/₂sin2x.e^-2x]
= [-¹/₄cos2x.e^-2x+¹/₄sin2x.e^-2x]

hieruit volgt dus dat
ò(e^-x.sinx)²dx =
[-¹/₄e^-2x] - ¹/₂[-¹/₄cos2x.e^-2x+¹/₄sin2x.e^-2x]
= [-¹/₄e^-2x +(1/8)cos2x.e^-2x-(1/8)sin2x.e^-2x]
= (1/8)e^-2x(cos2x - sin2x -2)

Nu is het alleen nog maar een kwestie van integratiegenzen invullen.

groeten,
martijn

mg
24-1-2007