WisFaq!

Bewijs vergelijking

S(x)=mrl(0)/mrl(x).
exp(-integraal van 0 tot x van(du/mrl(u)))

met mrl(x)=(integraal van x tot van (S(t)dt))/S(x)
en mrl(0)=(integraal van 0 tot van (S(t)dt))

Pauwels Marijke
19-10-2002

Antwoord

Hoi,

Bedenk dat d/dx[òvoor t van x tot ¥ van f(x)]=-f(x) (eig 1) (volgt uit definitie d/dx, f(x) is continu dus er bestaat een benadering f(x)=f(x₀)+c.dx, ...). En ook dat: d/dx[ò voor t van 0 tot x van f(x)]=f(x) (eig 2)

We noemen voor het gemak van schrijven g(x)=òvoor t van x tot ¥ van S(t)dt. We hebben dus: mrl(x)=g(x)/S(x) en g'(x)=-S(x) (uit eig 1).

Dus:
mrl'(x)=
(g'(x).S(x)-g(x).S'(x))/S²(x)=
1-[g(x)/S(x)].[S'(x)/S(x)]=
1-mrl(x).S'(x)/S(x)

Zodat:
mrl'(x)/mrl(x)+S'(x)/S(x)=1/mrl(x)
En dus: (integralen voor t van 0 tot x)
òmrl'(t)/mrl(t)dt+òS'(t)/S(t)dt=ò1/mrl(t)dt+c
of:
ln(mrl(x))+ln(S(x))=ò1/mrl(t)dt+c (uit eig 2)

Voor x=0:
ln(mrl(0))+ln(S(0))=0+c

Uit de definitie van mrl(x) en mrl(0) vind je: S(0)=1
Dus: c=ln(mrl(0))

Zodat:
ln(S(x))=ò1/mrl(t)dt+ln(mrl(0))-ln(mrl(x))
en:
S(x)=mrl(0)/mrl(x).ò1/mrl(t)dt (QED)

Groetjes,
Johan

andros
21-10-2002