WisFaq!

De som van meetbare verzamelingen

Hallo wisfaq,

Laat A en B twee meetbare verzamelingen zijn, hun som is gedefinieerd als

A+B={x in R^d : x=x'+x'' met x' in A en x'' in B}

Ik wil graag het volgend bewijzen,

Als A en B gesloten zijn hoeft A+B hoeft niet gesloten te zijn.

Ik denk dat ik een tegenvoorbeeld moet geven maar het is me niet gelukt om er een te vinden.
Misschien kunnen de volgende uitspraken van nut zijn (deze heb ik wel bewezen),

1.Als A en B open zijn dan is A+B open.
2.Als A en B gesloten zijn dan is A+B meetbaar.

Groeten en de beste wensen voor het nieuwe jaar,

Viky

viky
8-1-2007

Antwoord

Een tegenvoorbeeld is niet helemaal flauw maar ook niet echt moeilijk. Je moet wel onbegrensde gesloten verzamelingen nemen: als A en B compact zijn dat is A+B het ook; zelfs als alleen A compact zou zijn en B gesloten dat nog is A+B gesloten.
Werk in R (dus d=1). Voor A nemen we N={1,2,3,...}, de verzameling van natuurlijke getallen. Voor B nemen we {-n+1/n:n in N}.
Ga nu het volgende na:
- A en B zijn allebei gesloten
- 0 zit niet in A+B
- voor elke n in zit 1/n wel in A+B
- A+B is niet gesloten want 0 zit in de afsluiting van A+B maar niet in A+B zelf

kphart
9-1-2007