WisFaq!

Bewijs gewone lineare differentiaalvergelijking

Hey,

Voor school moet ik het bewijs van de oplossing kunnnen vinden van een gewone lineare differentiaalvergelijking van de eerste orde : y'+ay= 0 == y(x)= C.e^-ax. kunnen jullie me helpen.
Dank by voorbaat!

julie cousaert
28-12-2006

Antwoord

Dag Julie,

Bij differentiaalvergelijkingen (nuja, bij alles eigenlijk) is het belangrijk te weten wat je juist doet. Je zoekt hier een functie y(x) die voldoet aan de opgave y'+ay=0. Hierbij stelt y' de afgeleide van y naar x voor. Nu krijg je hier een oplossing van, namelijk y(x)=C*e^-ax, en is er gevraagd na te gaan dat dit een oplossing is. Wel, dan bereken je gewoon de afgeleide van deze functie (=y'), en je rekent uit wat y'+ay is. Je komt uit op nul? Oke, dan voldoet de voorgestelde functie y(x)=C*e^-ax aan de opgave en is ze dus een oplossing van de differentiaalvergelijking (voor elke constante C).

Als je die oplossing niet op voorhand krijgt kan je die ook zelf vinden: je weet dat y'/y = -a. Nu herken je in het linkerlid de afgeleide van ln(y). Immers denk aan de kettingregel:
^d(ln(f(x)))/_dx=1/f(x) * ^d(f(x))/_dx
Dus heb je (ln(y))'=-a. Hieruit volgt meteen dat ln(y)=-ax+K (met K een constante), dus
y=e^-ax+K=e^Ke^-ax=Ce^-ax
waarbij C=e^k werd gesteld.

Groeten,
Christophe.

Christophe
28-12-2006