WisFaq!

Norm met som

We definiëren ||.||_som als volgt:
- Voor xÎⁿ definiëren we
||x||_som=|x₁|+...+|x_n|
- Als A een n bij n matrix is, definiëren we
||A||_som = SOM|A_ij| (met de som voor i en j van 1 tot n)

Stel dan A en B twee n bij n matrices, bewijs dan
||AB||_som = ||A||_som . ||B||_som

Zij C een n bij n matrix, die we identificeren met een lineaire afbeelding van ⁿ naar ⁿ. Dan is
||C(x)||_som = ||C||_som ||x||_som voor alle xÎⁿ



De bedoeling is nu om dit lemma te bewijzen. Ik wou dit doen door A=(a_ij) te stellen en B=(b_ij), maar ik zit al dadelijk vast. Daarom mijn vraag: hoe bewijs ik dit? Hopelijk kunnen jullie mijeen antwoord bieden.

Inge Verbeek
23-12-2006

Antwoord

Dergelijke ongelijkheden zijn steeds gebaseerd op meer fundamentele ongelijkheden. Hier is de basisongelijkheid dat de absolute waarde van een som nooit groter kan zijn dan de som van de absolute waarden (ook wel de driehoeksongelijkheid genoemd, als het aantal termen gelijk is aan twee). Ik geef als voorbeeld aan hoe je het eerste deel kan bewijzen.

||AB||
= SOM(i,j) |(AB)_ij|
= SOM(i,j) | SOM(k) A_ik B_kj | (algemeen element van een matrixprodukt)
SOM(i,j) SOM(k) |A_ik B_kj| (basisongelijkheid)
= SOM(i,j) SOM(k) |A_ik|.|B_kj| (1)

Anderzijds is

||A||.||B||
=SOM(i,j)|A_ij| SOM(k,l)|B_kl|
=SOM(i,j) SOM(k,l) |A_ij|.|B_kl| (2)

Dan volgt dat ||AB|| (1) (2) = ||A||.||B||. Probeer zelf te begrijpen waarom (1)(2) (schrijf de uitdrukkingen desnoods eens op voor n=2).

cl
27-12-2006