WisFaq!

Eigenvectoren en eigenwaarden

Dit is een vraag die ik moet oplossen:

Stel dat f een lineaire transformatie is van het vectorvlak, waarvan het spoor nul is. Bovendien geldt dat voor vectoren V en W: f(V)+ V = f(W)+ W. Nu moet ik de determinant van f berekenen.

Wat ik gevonden heb is: aangezien het spoor nul is wordt de eigenwaardenvergelijking van f: r² + D = 0 (met r als eigenwaarde en D discriminant)
Als je deze tweedegraadsvergelijking uitrekent dan bekom je D=0.

Klopt deze redenering want ze lijkt me iets te eenvoudig?

Derademaeker Sam
23-12-2006

Antwoord

Dag Sam,

Je redenering klopt in elk geval tot aan de eigenwaardevergelijking r²+D=0. Hoe je daaruit afleidt dat D=0 zie ik niet.

Het is me ook niet helemaal duidelijk wat er met die V en W bedoeld wordt:
* geldt VOOR ALLE V en W die eigenschap f(V)+V=f(W)+W , of
* geldt die eigenschap voor twee vooraf gegeven vectoren V en W, of
* bestaan er gewoon twee vectoren V en W waarvoor die eigenschap geldt?

Als het dat eerste is (wat mijn interpretatie was toen ik de vraag las), dan is de opgave niet zo lastig: je weet dan dat voor alle vectoren V geldt dat f(V)+V een constante vector C is, dus ook f(0)+0=C, dus C=0. Je krijgt dan f(V)=-V dus je matrix heeft -1 op de diagonaal en 0 erbuiten, dus determinant 1.

Is het toch iets anders reageer dan maar he.
Groeten,
Christophe.

Christophe
25-12-2006