WisFaq!

Berekenen van sin²(x) met partiele integratie

Ik heb van alles geprobeerd om \int{}sin²(x) te bepalen maar ik kom er niet uit. Ik loop zo vast, kunnen jullie mij vertellen wat ik fout doe.

\int{}(sin²(x))
= \int{}sin(x).sin(x)dx -- sin(x) achter d brengen
= \int{}sin(x)d(-cos(x))-- dan de rekenregels toepassen
= -sin(x).cos(x) + \int{}cos(x).cos(x)dx -- zelfde nog een keer doen achter integraal teken dan kom ik op.
= -sin(x).cos(x) + cos(x).sin(x) + \int{}sin(x).sin(x)dx
oftewel 2.\int{}sin²(x) = -sin(x).cos(x) + cos(x).sin(x)
oftewel 2.\int{}sin²(x) = 0 ?

Hier ga ik al ergens fout, kunnen jullie mij helpen.

Danny Derks
18-12-2006

Antwoord

Partiele integratie leidt niet altijd tot het gewenste resultaat.
Voor \int{}sin²x dx en \int{}cos²x dx kun je beter gebruik maken van de dubbele hoek formules voor cos(2x):
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
cos(2x)=2cos²(x)-1
cos(2x)=1-2sin²(x)

Uit de laatste formule volgt 2sin²(x)=1-cos(2x),
dus sin²(x)=¹/₂-¹/₂cos(2x)
\int{}sin²(x)dx=\int{}(¹/₂-¹/₂cos(2x))dx=¹/₂x-¹/₄sin(2x)

hk
18-12-2006