WisFaq!

Coordinaten

hallo, hoe kan je aantonen dat de verzameling van de symmetrische 2x2 matrices een 3-dimensionale vectorruimte vormt?

greetzz
Rep

Rep
11-12-2006

Antwoord

Dat hangt ten eerste af van de bewerkingen die je op die verzameling definieert, want alleen dan kan je eventueel spreken over een vectorruimte. Trouwens, om preciezer te zijn, moet je ook nog duidelijk maken over wat voor matrices het gaat: reele of complexe bijvoorbeeld, of misschien nog iets anders. Die laatste kwestie zou van de dimensie al meteen een ander getal maken. En om het (helemaal?) exact te maken: een vectorruimte over welk veld? (maw uit welke verzameling mogen je scalairen komen?) R? C? Ook dat heeft een invloed op de dimensie.

Maar goed, ik ga er vanuit dat in jouw opgave dat de optelling en de scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd zijn zoals dat bij matrices gebruikelijk is, dat het gaat over reele matrices, en dat de vectorruimte die je bedoelt er een is over R.

Vervolgens is het enkel een kwestie van de eigenschappen af te lopen die van zo een verzameling+bewerkingen een vectorruimte maken. Dat is een koud kunstje als je dat lijstje er even bijneemt.

Tenslotte moet je nog aantonen dat je, gegeven 3 gekozen matrices (niet zomaar gekozen, ze moeten lineair onafhankelijk zijn), elke matrix uit je verzameling kan schrijven als een lineaire combinatie van die 3 (die zal uniek zijn aangezien de gekozen matrices lineair onafhankelijk zijn).

Als je vraag enkel gaat over het aanvoelen waarom de stelling waar is: 2x2 matrices hebben "4 vrijheidsgraden", als ze symmetrisch moeten zijn, heb je maar 3 elementen "te kiezen", dus dimensie 3.

cl
11-12-2006