WisFaq!

Goniometrische substituties

$\int{}$1 / (x² √(x² + 4)) dx
Mijn berekening tot nu toe:
x = 2 tan $\theta$
dx = 2 / (cos²$\theta$) d$\theta$
√(x² + 4) = 2 / cos $\theta$

$\int{}$cos$\theta$ / (4sin²$\theta$) d$\theta$ =
-1 / 4sin$\theta$

maar nu verder...?

Ik moet het gebruik van sec csc vermijden.

Wie wil/kan me helpen?
Bvd, Tjenne

Tjenne
24-10-2006

Antwoord

Beste Tjenne,

Waarom wil je sec(x) en csc(x) vermijden? Dat zijn gewoon 'nieuwe namen' voor 1/cos(x) en 1/sin(x), en dat mag je (bij goniometrische substituties!) toch wel gebruiken? Zo is de afgeleide van tan(x) gelijk aan 1/cos²(x), dus ook sec²(x) - het is maar een naam...

Als x = 2.tan($\theta$), dan is $\theta$ = arctan(x/2).
De oplossing is dus: -1/(4.sin(arctan(x/2))) + C

Dit kan je vereenvoudigen via: sin(arctan(a)) = a/√(a²+1).
Je kan dit zelf vinden met behulp van een rechthoekige driehoek of via wat spelen met goniometrische formules.

mvg,
Tom

td
24-10-2006