WisFaq!

Limiet zonder L`Hopital

Ik heb een limiet die ik kan oplossen maar niet zoals het zou moeten:
lim (voor x gaande naar $\pi$) van: (1-sin(x/2)) / ($\pi$-x)
Het is de bedoeling dat we deze herleiden naar de standaardlimiet: lim (voor x gaande naar 0) van: sin x / x = 1
(ik heb de limiet wel kunnen oplossen met enkele goniometrische formules, maar ik zou graag weten hoe je de limiet herleid tot de standaardlimiet)

fil
22-10-2006

Antwoord

De grafiek van de functie f moet je in feite over een afstand $\pi$ naar links verschuiven. Je bent dus op zoek naar een functie g(x) die f(x) kan vervangen, zodanig dat er voor lim x$\to$0 g(x) hetzelfde uit komt als wat er voor lim x$\to\pi$ f(x) uit had gekomen.

lim x$\to\pi$ f(x) = lim x$\to$0 g(x) = lim x$\to$0 f(x+$\pi$)

g(x)= f(x+$\pi$) = (1-sin((x+$\pi$)/2))/($\pi$-(x+$\pi$))
= (1-sin(x/2 + $\pi$/2))/(-x)
= (1-cos(x/2))/(-x)
= (cos(x/2)-1)/x
= (1-2sin²(x/4)-1)/x
= -2sin²(x/4)/x
= -2/4 .sin(x/4).sin(x/4)/(x/4)

in de limiet voor x$\to$0 gaat het gedeelte sin(x/4)/(x/4) naar 1 (is in feite identiek aan de standaardlimiet siny/y)
en sin(x/4) gaat naar 0
dus de hele limiet gaat naar 0

groeten,
martijn

mg
23-10-2006