WisFaq!

Integreren (subsitutie of partieel?)

Ik ben momenteel aan het integreren en kom gewoon stomweg niet uit deze vraag. Volgens mij kom ik nog wat te kort aan goniometrische theorie.

De bedoeling is dat 1/(1+cos(x)) geintegreerd wordt.

vraag 1. Moet deze nou met subsitutie methode op partieel?

vraag 2. Met behulp van de PC komt er tan(1/2*x) uit. Volgens de primitieven lijst is dat een vorm van 1/cos(x)^2. kan het niet echt zien.

Kunt u mij met deze vraag helpen???

Arie van de Groep
19-10-2006

Antwoord

we beginnen met de verdubbelingsformules voor cosinus, wellicht dat die je wel bekend zijn.
cos(2x)=cos²x-sin²x
= 1-2sin²x
= 2cos²x-1

Hieruit volgt dat:
cos(x)=cos²(¹/₂x)-sin²(¹/₂x)
= 1-2sin²(¹/₂x)
= 2cos²(¹/₂x)-1

maken we nou gebruik van die laatste identiteit cosx=2cos²(¹/₂x)-1 en vullen we dat in:

1/(1+cosx) = 1/(2cos²(¹/₂x)) = ¹/₂.1/(cos²(¹/₂x))
de primitieve hiervan is tan(¹/₂x)
(check maar weer de afgeleide ervan)

groeten,
martijn

mg
20-10-2006