WisFaq!

De definitie van meetbaarheid

Hallo wisfaq,

Ik wil graag laten zien dat de volgende twee definities van meetbaarheid equivalent zijn:

Def1.Een deelverzameling E van de R^n(R de reele getallen) is (Lebesque) meetbaar als er voor iedere e0 een open verzameling O bestaat met E bevat in O en m_*(O-E)=e.

Def2.E is meetbaar als voor er voor iedere e0 een gesloten verzameling F bestaat bevat in E met m_*(E-F)e.

Nu heb ik een lemma gevonden die hier mee te maken heeft: (CE staat voor het complement van E, en m(E)=m_*(E)):
Lemma.
Een verzameling E in de R^n is meetbaar d.e.s.d.a. gegeven een e0, er een gesloten deelverz. F in E bestaat zodat
m(E-F)e.
Bewijs
E is meetbaar d.e.s.d.a. CE meetbaar is.Hieruit volgt:
CE is meetbaar d.e.s.d.a. gegeven een e0, bestaat er een open verz. O met CE in O en m(O-CE)e.
Zo'n O bestaat d.e.s.d.a. de verz. F=CE gesloten is, F is in E, en m(E-F)e, want O-CE=E-F.

Maar ik begrijp niet hoe ik de equivalentie moet bewijzen.Volgens moet ik iets uit het bewijs van dit lemma gebruiken, of is de equivalentie met dit lemma al bewezen?

Groeten,

Viky

viky
16-10-2006

Antwoord

Om te beginnen: het lemma zegt niets anders dan dat definitie 1 en definitie 2 equivalent zijn; het bewijs gebruikt dat al bewezen is dat de (Lebesgue-)meetbare verzamelingen een sigma-algebra vormen, in het bijzonder dat het complement van een meetbare verzameling weer meetbaar is. De enige manier om dat laatste te bewijzen is, in mijn ogen, eerst bewijzen dat definities 1 en 2 equivalent zijn ... zo kom je in een cirkelredenering terecht.
Om die cirkel te breken moet je de equivalenties van de definities rechtstreeks aantonen. Het volledige bewijs is nogal omvangrijk; ik geef daarom de belangrijkste stappen.
1. Neem eerst aan dat E begrensd is. Neem e0 en daarbij een open verzameling O zo dat m_*(O\E)e we mogen aannemen dat O begrensd is. Uit de definitie van m_* halen we een open verzameling V waar O\E in zit en zo dat m_*(V)e. De verzameling O is de vereniging van een stijgende rij gesloten verzamelingen (F_k). Dan is er een n zo dat m(O\F_k)e (dit zou al bewezen moeten zijn: voor open en gesloten verzamelingen gebraagt m_* zich als een maat). Neem nu G=F_k\V, dan is G gesloten, G zit in E, en m_*(E\G)m_*(O\G)2e.
2. Als E niet begrensd is pas je het voorgaande toe op de doorsnede van E met elke n-kubus van de vorm [i,i+1]x[j,j+1]x...; die kun je aftellen in een rijtje (K_k) zorg dat voor de F_k die je binnen de doorsnede E_k van E met K_k vind de ongelijkheid m_*(E_k\F_k)e/2^k geldt. Dan is de vereniging van all F_k als gewenst.
3. Iets dergelijks werk voor de omgekeerde implicatie: eerst het begrensde geval. Gegeven e en F maak je V om E\F met m_*(V)e en ook een open U om F met m_*(U\F)e; neem dan voor O de vereniging van U en V. Daarna het willekeurige geval: weer E met alle kubussen K_k snijden en O_k met m_*(O_k\E_k)e/2^k vinden. Neem dan voor O de vereniging van alle O_k.

kphart
3-11-2006