WisFaq!

Laurentreeksen

Dag Wisfaq,

Ik heb een vraag mbt het onwikkelen van complexe functies in laurentreeksen.

Ik snap dat je een functie kan ontwikkelen op een gebied met de vorm r |z - z₀| R, met 0 r R oneindig. Dit heeft dan de vorm:
å_{n= -oneindig}^+oneindig g_n*(z - z₀)ⁿ. Wat me nog niet goed lukt is het bepalen van de coefficienten g_n. Deze zijn gegeven door g_n = 1/(2pi)*òf(z)/(w-z₀)ⁿ⁺¹dz.

Bijvoorbeeld deze som: Bepaal de coefficienten van de de laagste drie machten van z uit de laurentreeks van f(z)=cos(z)/(z(1+z)) op de ring 0 |z|₀ 1.

Ik zou jullie erg dankbaar zijn als jullie me hier mee kunnen helpen.

Jolle Lont
16-10-2006

Antwoord

De integraalformule is vooral bedoeld om het bestaan van de Laurentontwikkeling aan te tonen. Als je er expliciet een uit wilt rekenen is het vaak handiger om bekende reeksen bij elkaar op te tellen/met elkaar te vermenigvuldigen en zo. In dit geval heb je het product van cos(z), 1/z en 1/(1+z). Maak van elk een stukje van de bijbehorende reeks: cos(z)=1-x²/2+z⁴/24+..., 1/z=1/z (rond 0) en 1/(1+z)=1-z+z²-z³+z⁴+...; vermenigvuldig die drie en je hebt wat je zoekt.

kphart
16-10-2006