WisFaq!

particuliere oplossing van een lineaire dv

hier de functie: x.^dy/_dx + y = 2.ln(x)

hoe los ik deze vraag op door middel van Variatie van constanten? :)

Gr. Bob

Bob
24-9-2006

Antwoord

Beste Bob,

Dit is een lineaire dv van eerste orde: de homogene oplossing kan je vinden door scheiden van veranderlijken. Om een particuliere oplossing te vinden kan je de methode van "variatie van de constante" toepassen. De homogene oplossing is van de vorm y_h = c.f(x), stel als particuliere oplossing hetzelfde voor maar laat c afhangen van x: y_p = c(x).f(x).

Ik stel de oorspronkelijek dv algemeen voor als a(x)y' + b(x)y = d(x). Substitutie van y_p in de oorspronkelijke dv levert, rekening houdend met de homogene oplossing, a(x)c'(x)f(x) = d(x) hetgeen in het algemeen het volgende geeft voor c(x):

c(x) = ò d(x)/(a(x)f(x)) dx

Merk op dat ik nog niets specifiek van jouw opgave heb gebruikt, bovenstaand resultaat is dus algemeen en in het vervolg direct bruikbaar. Nu is in jouw geval a(x) = x, d(x) = 2.ln(x) en f(x) = 1/x, dit laatste vind je door y_h te bepalen. De noemer valt netjes weg zodat c(x) gegeven wordt door de primitieve van 2.ln(x).

mvg,
Tom

td
24-9-2006