WisFaq!

Hoek tussen 2 rechten

zoek bewijs/verklaring van formule welke de hoek geeft tssen 2 rechten. cos a = u . V / (||u|| . ||v||) , waarbij u en v 2 vectoren zijn v/d resp. rechten. Hoe komt men hiertoe?

Delphine
19-9-2006

Antwoord

we gaan uit van de cosinus-regel.
Deze luidt:

a²=b²+c²-2.b.c.cosa

Passen we deze regel toe op onderstaande situatieschets van twee vectoren u=(u₁,u₂) en v=(v₁,v₂) die een hoek q met elkaar maken:


dan krijgen we:

|v-u|² = u²+v² - 2.|u|.|v|.cosq

Û
|u|.|v|.cosq = ¹/₂(|u|²+|v|² - |v-u|²)
= ¹/₂(u₁²+u₂²+v₁²+v₂² - (v₁-u₁)²-(v₂-u₂)²)
= ...
= u₁v₁+u₂v₂
= u·v

Zodoende is cosq = u·v/|u||v|

groeten,
martijn

mg
20-9-2006