WisFaq!

Hoe los je deze integraal op?

Ik ben momenteel bezig met een heropfrissingscursus wiskunde. Een deel hiervan werd echter niet gezien in de les. In dat deel staat volgende stap:

int( dx / ((x-(1/2))²+(3/4)) ) = (1/(wortel(3)/2))(Arctan(x-(1/2))/(wortel(3)/2))

In de integraal herken ik ook de integraal van 1 / (1+x²) maar ik zou niet direct weten hoe ik deze eruit moet halen. Ik weet nog dat het iets was met iets vooropstellen in de noemer. Kan iemand mij hier even met helpen? Alvast dank

Pieter
10-9-2006

Antwoord

Je moet inderdaad naar iets van de vorm dy/(y²+1) gaan. Nu staat er echter geen 1, maar wel 3/4. Dus zonder die factor af, of anders gezegd: deel teller en noemer door 3/4. Je krijgt dan:

int (4/3)dx / ((4/3)(x-1/2)²+1)

Dus de y² die je nodig hebt, is (4/3)(x-1/2)² = ((2/Ö3)*(x-1/2))²
Dus y = (2/Ö3)*(x-1/2) waaruit volgt dy = 2/Ö3 dx en dus dx = Ö3/2 dy

Zo kom je op (4/3) * (Ö3/2) * int (dy/(y²+1)) zodat je inderdaad de boogtangens daarin herkent, en het opnieuw invullen van x geeft je dat antwoord.

Groeten,
Christophe.

Christophe
10-9-2006