WisFaq!

Stelsel van 3 vergelijkingen

Beschouw het stelsel vergelijkingen:

x + y + z = 4
x - y + z = 2
2x + y - Az = B

met A en B constanten

a) bepaal alle A en B waarvoor het stelsel precies 1 oplossing heeft.
b) bepaal alle A en B waarvoor het stelsel geen oplossing heeft.
c) Indien het stelsel meer dan 1 oplossing heeft, bepaal het stelsel en de rechte. Geef ook een richtvector van deze rechte.


Hoe begin je aan zoiets ? Deze oefening kregen we op het examen in juni.

Ik heb op alle mogelijke manieren gauss-eliminatie toegepast, maar het wilde maar niet lukken.

Wat zijn de voorwaarden zodat er slechts een of geen oplossing is ?

Bedankt alvast.

stef
23-8-2006

Antwoord

Beste Stef,

In matrix-notatie is het stelsel te herschrijven als AX = B, met A de coëfficiëntenmatrix, X de vector van de onbekenden en B de vector van de constanten. Om Gauss-eliminatie toe te passen via matrices vullen we de coëfficiëntenmatrix aan met de kolom van de constanten, ik noteer dit de matrix (A,B). Er geldt dat:

AX = B heeft oplossingen Û rang(A) = rang(A,B)
AX = B heeft geen oplossingen Û rang(A) ¹ rang(A,B)

In het bijzonder moet in dit laatste geval gelden: rang(A)+1 = rang(A,B).

Het vergelijken van de rangen kan gemakkelijk wanneer je de matrix in gereduceerde echelonvorm hebt gebracht. Indien je ook determinanten gezien hebt, kan je misschien ook de link leggen met regulier - singulier (resp. determinant verschillend van, dan wel gelijk aan 0).

mvg,
Tom

td
23-8-2006