WisFaq!

Bewijs 2 nulpunten van f steeds gescheiden door nulpunt van f`

Hallo,

Om te bewijzen dat twee nulpunten van f steeds gescheiden worden door een nulpunt van f' wou ik dit met de stelling van Rolle doen en zeggen dat f(a)=f(b)=0 aanhalen. (de steling zegt dat indien f(a)=f(b) er 1 c bestaat tussen a en b zodat f'(c)=0)

Maar nu zouden bijvragen kunnen zijn:Wat als het om
-dubbele of meervoudige nulpunten gaat? (ik weet zelfs niet eens wat ze hier mee bedoelen)
-wat als f van meerdere veranderlijken afhangt?
-wat als f zelf vectorwaardig is (miss antwoord: de gradient dient dan nul te zijn?)

Ik hoop dat iemand me kan helpen!

alvast beankt

Bob
15-8-2006

Antwoord

0. Je moet wel netjes alle voorwaarden bij de stelling noemen; de stelling van Rolle zegt: als f continu is op [a,b] en differentieerbaar op (a,b) en als f(a)=f(b) dan is er een c in (a,b) met f'(0)=0.
1. Lees de stelling goed: het maakt niet uit op er dubbele of meervoudige nulpunten bij zitten. Als a een nulpunt is kun je in feite (x-a) uit de functie wegdelen en bij een dubbel nulpunt zelfs (x-a)² enzovoort.
2. en 3. deze stelling is specifiek voor functies van R naar R. Bij functies van meer veranderlijken is de nulpuntsverzameling een kromme (twee variabelen) of een oppervlak (drie variabelen) de formulering van zo'n stelling wordt al gauw gekunsteld en eigenlijk is er geen. Wat vectorwaardig betreft: definieer f(t)=(cos t, sin t) op het interval [0,2p]; dan geldt f(0)=f(2p)=(1,0), maar f'(t)=(-sin t, cos t) is nooit (0,0).

kphart
17-8-2006