WisFaq!

Massa-veersysteem

karakteristieke vergelijking : mx²+ax+k=0
bepaal de algemene oplossing als:
a)a=0
b)a 2√mk
c)a 2√mk

Hierbij gebruik ik de abc formule. Als D0 dan 2 oplossingen voor x, dan wordt de algemene oplossing:
y=Ae^(x₁·t)+ Be^(x₂·t)
Als D=0 dan 1 oplossing:
y= Ae^(xt)+ Bt e^(xt)
als D0 dan 2 complexe oplossingen p+-jw
y= e^(pt) · (A cos(wt)+ B sin (wt))

Som a: p = a/2m=0. Maar het tweede deel om wte berkenen kom ik niet uit. En dit geldt al helemaal voor b en c..
Ik hoop dat iemand mij kan helpen hiermee.

vriendelijke groet, sharon

Sharon
10-8-2006

Antwoord

Het begin van het massa-veersysteem is de dv:

m.x'(t)+a.x'(t)+k.x(t)=0 waarbij a de dempingsfactor voorstelt, en k de veerconstante. x(t) is de positie als functie van de tijd.

Stel nu eens dat er géén sprake van demping zou zijn, dan is a=0, en hou je over de dv voor een harmonische trilling:
m.x'(t) + k.x(t)=0
De oplossing hiervan is x(t)=A.cos(w₀t) + B.sin(w₀t)
met w₀=√(k/m)

Nu weer terug naar de gedempte trilling. dus met a0
in dat geval mag je (bij lichte demping) ook een oscillatie verwachten, maar niet noodzakelijk met dezelfde hoekfrequentie als bij de ongedempte trilling.
Maar met een andere frequentie w'$\ne$w₀

We substitueren x(t)=A.e^q.t in de dv. dit levert
A.e^q.t.(m.q²+aq+k)=0
Dit betekent dat $\int{}$f A=0 (triviaal), of e^q.t=0 (kanniet voor alle t) $\int{}$f m.q²+aq+k=0
(dezelfde als jouw karateristieke vergelijking, maar dan in q. want ik had als positievariabele x gekozen. maar doet niet af aan het principe)

q² + (a/m)q + (k/m)=0
Deze vierkantsvergelijking inderdaad oplossen mbv de abc-formule.
q_1,2 = -a/2m ± √(a²/4m² - k/m)

a. als a=0 dan is
q_1,2 = -0/2m ± √(0²/4m² - k/m)
= ±√(-k/m) = ±i√(k/m) = ±iw₀
dus dat levert als oplossing een puur oscillerende oplossing:
x(t)=A.exp(iw₀) + B.exp(-iw₀)

b. als a2√mk dan is er sprake van lichte demping
omdat in q_1,2 = -a/2m ± √(a²/4m² - k/m)
het (a²/4m² - k/m)-gedeelte negatief is, geldt dat
q_1,2 = -a/2m ± i√(k/m-a²/4m²)
waarbij het imaginaire gedeelte voor de oscillerende gedeelte van de oplossing zorgt:
noem √(k/m-a²/4m²)=w'
dan is de oplossing:
x(t)=A.exp(-a/2m.t).exp(w'.t)+B.exp(-a/2m.t).exp(-w'.t)
dus hieraan zie je dus dat bij een gedempte trilling er ook een oscilllerend gedeelte is in de oplossing, maar met een àndere hoekfrequentie (w') dan bij de ongedempte oplossing.

c. indien a2√mk dan is er sprake van zware demping.
het (a²/4m² - k/m)-gedeelte is positief, dus geldt dat
q_1,2 = -a/2m ± √(a²/4m² - k/m)
en dus dat
x(t)=A.exp((-a/2m.t + √(a²/4m² - k/m).t) +
B.exp((-a/2m.t - √(a²/4m² - k/m).t)

in dit geval oscilleert er niks,omdat er niks imaginairs in de e-macht te bespeuren is. Dus is er ook geen frequentie w'.

hopelijk is het zo ietsje duidelijker.

groeten,
martijn

mg
12-8-2006