WisFaq!

Probleem met simpele DV

Hoi, ik zit met een probleem: gegeven een DV rechtstreeks uit de cusus algemene fyisca : '' dv/dt +kv -g =0 ''

Scheiden van veranderlijken geeft dv/(g-kv) = dt

integreren geeft dan '' ln (g-kv) = -kt ''

Uitstekend dacht ik, maar toen ik in de cursus zag, stond er ln ( (g-kv)/(g-kv₀) ) = -kt

met v = v₀, nu dit snap ik niet, is dat laatste niet fout?

vriendelijk bedankt, winny

winny
23-7-2006

Antwoord

Integreren van een differentiaalvergelijking doe je niet "zomaar", de integratieconstanten die optreden kan je niet zomaar laten vallen. Vb: als dx/dt=5, dan kan ik daaruit niet besluiten dat x(t)=5t, je moet ook aan de integratieconstante een waarde toekennen. Meestal wordt die bepaald door een beginvoorwaarde op te leggen. Zo kan je uit dx/dt=5 en x(0)=10 de integratieconstante bepalen:

dx/dt=5 = x(t)=5t+C
x(0)=10 = 5.0+C=10 = C=10 = x(t)=5t+10

Een gelijkwaardige manier, die vaak in fysische problemen het eenvoudigst is, is beide leden van de gescheiden differentiaalvergelijking "bepaald" te integreren, meestal tussen t=0 en t=T.

Dat geeft in jouw geval:

[ln(g-kv)] (tussen t=0 en t=T) = -kt (tussen t=0 en t=T)
ln(g-kv(T)) - ln(g-kv(0)) = -kT - (-k.0)
ln((g-kv(T))/(g-kv(0)) = -kT

Je zou dan terug kunnen overstappen op "kleine t", en eventueel de t-afhankelijkheid van v impliciet kunnen weergeven (en het argument dus laten vallen).

cl
23-7-2006