WisFaq!

Groep met vier personen

Ik was bezig met de volgende vraag, maar kwam er niet helemaal uit. Zou iemand me hier kunnen helpen?
Er is een groep van vier mensen. Ieder persoon schrijft de naam van een willekeurig ander persoon uit de groep op een blaadje. Wat is de kans dat er tenminste één paar mensen is die elkaars naam opschrijft?
Die kans is gelijk aan 1 - kans dat er geen paren zijn. In principe heeft persoon 1 drie mogelijkheden, maar het is afhankelijk van wat hij kiest, wat persoon 2 kan kiezen. Is er een andere manier van oplossen dan alles uit te schrijven?

AvdH
16-7-2006

Antwoord

We noemen de personen A,B,C en D.
We noteren de keuzes als een rijtje van 4 letters: BCDA betekent dan:
A heeft voor B gekozen, B voor C, c voor D en D voor A.
Veronderstel dat A voor B heeft gekozen, dan zijn er de volgende mogelijkheden om een of meer paren te vormen:
BA**, dit kan dus op 3*3=9 manieren
BCB*, dit kan dus op 3 manieren
BCDC: 1 manier
BD*B: 3 manieren
BDDC: 1 manier.
Als A voor B heeft gekozen zijn er dus 9+3+3+1+1=17 manieren om een of meer paren te krijgen.
Als A voor een van de anderen heeft gekozen zijn er ook 17 manieren.
Totaal dus 3*17=51 gunstige mogelijkheden.
In totaal zijn er 3*3*3*3=81 manieren om de namen in te vullen.
De gevraagde kans is dus 51/81=17/27.

hk
17-7-2006