WisFaq!

Verzamelingen

Hoi, ik heb een vraagje, weet iemand een voorbeeld van een verzameling waarvan het inwendige = afsluiting,
maw een verzameling A die tegelijk open en gesloten is (de omvattende metrische
ruimte X telt niet mee) of is dit onmogelijk?

thx, winny

winny
14-6-2006

Antwoord

Hallo Winny,
In de gewone ruimten is dat niet mogelijk.
Als er zo'n verzameling is (in een zekere topologische ruimte) , dan is dus die ruimte te verdelen in twee (niet lege)delen die ieder open zijn.
En dat betekent dat die ruimte nietsamenhangend is(zie de definitie van samenhangend) Omdat ze elkaars complement zijn zijn ze tegelijk ook gesloten.
Een voorbeeld: neem de rationale getallen met de gewone topologie.
Zij U de verzameling { x : x^2 2}, dus alle rationale getallen kleiner dan wortel 2. Deze verzameling is zowel open als gesloten. (het getal wortel 2 dat U zou kunnen afsluiten is een niet bestaand getal in deze ruimte.
Ik hoop dat dit duidelijk is. Er zijn natuurlijk ook andere voorbeelden van niet samenhangende ruimten te bedenken.
m vr gr

JCS
19-6-2006