WisFaq!

Oppervlakte ingesloten kromme

Hoe moet ik hieraan beginnen?

Bereken de oppervlakte ingesloten door de kromme met vergelijking y² = (1-x²)³

Ik heb al alles geprobeerd, de uitkomst is 3p/4 maar hoe kan ik daaraan komen?

Alvast bedankt

Bart
11-6-2006

Antwoord

Beste Bart,

Als je oplost naar y bekom je twee delen: een positieve en een negatieve wortel. Deze zijn hetzelfde, maar dan respectievelijk boven en onder de x-as. Je kan dus de positieve wortel nemen, de oppervlakte daarvan bereken als de integraal van f(x) en dan vermenigvuldigen met 2. We hebben dus:

f(x) = Ö((1-x²)³)

Door de vierkantswortel moet de uitdrukking eronder positief zijn, de curve is dus gedefinieerd op [-1,1], deze randpunten zijn dan ook je grenzen. Om de (halve) oppervlakte te vinden gaan we dus f(x) integreren voor x tussen -1 en 1.

Voor de integraal gebruik je een goniometrische substitutie.
NB: als je de grenzen dan mee aanpast, hoef je niet terug te substitueren.

mvg,
Tom

td
11-6-2006