WisFaq!

Kern, beeldruimte, eigenwaarden

Beste,

ik begrijp niet goed wat precies de kern en beeldruimte van een matrix A zijn. De kern heeft iets te maken met het oplossen van een homogeen stelsel Ax=0 en de beeldruimte met Ax=b maar wat beiden precies voorstellen, snap ik niet ...

Daarom zit ik ook in problemen met volgende vraag: als je een (nxn) matrix hebt waarbij de nulliteit nul is, wat weet je dan over de eigenwaarden van de matrix ?

Ik dacht: een nxn matrix met nulliteit 0 is een vierkante niet singuliere matrix, dus de eigenvectoren zijn allemaal onafhankelijk en de matrix heeft dus 3 verschillenden eigenwaarden ?

alvast bedankt

pieter
8-6-2006

Antwoord

Bewust een niet-klassiek verhaaltje, misschien helpt het om eens een ander licht te gooien op deze materie...

In een kamer staat een hypothetische computer. Je kan hem bedienen door een speciaal soort futuristische muis die je in een bepaald aantal dimensies kan bewegen, laten we dat aantal n noemen. De positie van de muis is dus een n-dimensionale vector die we aanduiden met x. Voor een klassieke muis is n=2, muizen met n=3 zullen deze eeuw nog wel gemeengoed worden. Een schuifregelaar heeft n=1.

De computer bestuurt een pen of aanwijzer die ook kan bewegen in een aantal dimensies, laten we dat aantal m noemen. De positie van de pen is dus een m-dimenstionale vector. m en n hoeven niet noodzakelijk hetzelfde te zijn. Een scherm heeft m=2, een nog uit te vinden 3D-scherm m=3, het vloeistofniveau in een buis m=1.

De computer is zodanig geconstrueerd dat coordinatenvector y van de pen/aanwijzer gelijk is aan de matrixvermenigvuldiging van een of andere matrix A met de coordinatenvector van de muis x.

y = A x met yÎ^mx1, AÎ^mxn en xÎ^nx1.

Beeldruimte en rang

De beeldruimte is nu de verzameling van alle mogelijke beelden y als je x alle mogelijke waarden laat aannemen. Met andere woorden: je beweegt de muis over alle posities die mogelijk zijn en bekijkt de beweging van de pen. De dimensie van de beeldruimte noemen we de rang van de matrix A.

Stel bijvoorbeeld het klassieke computersysteem met m=n=2. Een "brave" matrix A zal 2D-beweging van de muis vertalen in 2D-beweging van de aanwijzer. Een "stoute" matrix zal 2D-beweging van de muis vertalen in 1D-beweging van de aanwijzer. Hoe heftig je ook met je muis over de muismat vliegt, de aanwijzer lijkt gewoon een lijn te volgen. Het summum van een stoute matrix is de nulmatrix: het resultaat is altijd nul, de aanwijzer beweegt niet, no matter what.

Je ziet in dat de rang van de matrix hoogstens n kan zijn.

Kern en nulliteit

De kern is de verzameling van de originelen x die als resultaat bij matrixvermenigvuldiging met A een nulvector voor y leveren. De nulstand van de muis hoort daar al zeker bij, aangezien A.0=0, wat A ook is. Maar misschien zijn er ook andere posities van de muis die de aanwijzer in dat speciale punt doen terecht komen. Die vormen een vectorruimte die de kern van A wordt genoemd en dimensie er van noemen we de nulliteit van A.

Ook de nulliteit wordt beperkt door n: het kan niet dat als je de muis maar in n dimensies kan bewegen zal die speciale deelverzameling zeker geen hogere dimensie hebben.

Dimensiestelling

Het verband tussen rang en nulliteit van een mxn matrix A wordt gegeven door de dimensiestelling

n = rang(A) + null(A) of dus n = dim(Im(A)) + dim(ker(A))

Voorbeeld: stel je hebt een modern exemplaar van onze hypothetische computer en je merkt dat, hoewel je muis 3D is (n=3), de aanwijzer toch maar in 1D lijkt te reageren (rang=1). Dan weet je meteen dat er een 3-1=2 dimensionale verzameling aan muisposities is die de aanwijzer in het speciale punt 0 zullen terecht laten komen, dankzij de dimensiestelling. Merk op dat die uitspraak totaal onafhankelijk is van m, het aantal vrijheidsgraden die de aanwijzer in theorie heeft (hoewel m in dit voorbeeld natuurlijk minstens 1 moet zijn).

Laat je dus bij het studeren van deze resultaten niet vangen door de schijnbare eenvoud van de formule, je zou de eerste niet zijn die plots niet meer lijkt te weten wat n precies is...

Over jouw vraag: het enige wat je uit nulliteit 0 kan afleiden is dat de eigenwaarden verschillen van 0. Het is niet omdat een eigenwaarde een multipliciteit 1 zou hebben dat je niet "genoeg" lineair onafhankelijke eigenvectoren zou kunnen vinden. Als elementairste tegenvoorbeeld geldt de eenheidsmatrix.

PS: Er valt nog veel meer te vertellen over de vectoren x en y. Algebra in het algemeen en lineaire algebra in het bijzonder kicken ongelofelijke ass De fundamenteelste soort wiskunde (op verzamelingenleer na misschien, maar dat is al gauw voor gevorderden)

cl
10-6-2006