WisFaq!

Bepaalde integraal: kettingregel en hoofdstelling

Als d/dx ( ^x$\int{}$_-1-1 f(t)dt) = x³-3x²+5, bepaal dan d/dx ( ^x2$\int{}$₀-1 f(t)dt)

ik heb hier al men hoofd over gebroken, kan iemand me verder helpen?

dank bij voorbaat

jens
6-6-2006

Antwoord

Dit kan je op twee manieren oplossen: één ervan is dat je aan de hand van het gegeven je functie f bepaalt (een keer integreren en een keer afleiden), om dan het rechterlid uit te rekenen.

De andere manier is wat eleganter: je gebruikt de kettingregel. Bekijk de functie
g: x $\to$ ^x$\int{}$_-1 -f(t)dt
en de functie
h: x $\to$ x²

Zie je dan dat het gevraagde wordt:
d/dx (g(h(x)) ?

Wegens de kettingregel is dat gelijk aan
dg/dx (h(x)) · dh/dx

Je kent de afgeleide van g (die is gegeven in het punt x, nu heb je hem wel nodig in x², dus vervang in x³-3x²+5 elke x door x²), en je kent natuurlijk de afgeleide van h(x)=x², dat is 2x.

Je zal je misschien afvragen of het niks uitmaakt dat je in het gegeven een ondergrens voor je integraal van -1 hebt, en in het gevraagde is die gelijk aan nul. Bedenk dan dat de bijdrage van die ondergrens iets zal zijn van de vorm F(-1) of F(0) (met F een primitieve van -f). Een constante dus, en vermits je zowel in gegeven als in gevraagde dit afleidt naar x, valt dit volledig weg, dus het maakt niet uit welk getal de ondergrens is voor de integraal, zolang het maar niet van x afhangt.

Als je iets niet begrijpt of je wil je antwoord controleren reageer je maar...

Groeten,

Christophe
7-6-2006