WisFaq!

Vectorruimten voortgebracht door

Hey,

Ik heb een probleem met een oefening over vectorruimten:

"Toon aan dat de vectorruimte voortgebracht door (1,2,3) en (4,5,6) dezelfde is als die voortgebracht door (2,1,0) en (1,1,1). Heb gewoon geen idee hoe ik moet beginnen...help!

R.
25-5-2006

Antwoord

Hallo,

Noem V de eerste vectorruimte en W de tweede. Ze hebben allebei duidelijk dimensie twee, dus als je kan aantonen dat V in W zit, dan zijn ze noodzakelijk gelijk. (als je dat dimensie-argument niet wil gebruiken, toon dan aan dat V in W zit en W in V)

Nu, hoe toon je aan dat V in W zit? Wel, probeer (1,2,3) uit te drukken als lineaire combinatie van (2,1,0) en (1,1,1), dus
(1,2,3)=a(2,1,0)+b(1,1,1).

En hetzelfde met (4,5,6), dus
(4,5,6)=c(2,1,0)+d(1,1,1).
Probeer zelf a,b,c en d te vinden.

Waarom is dit nodig: wel, een willekeurig element van V is per definitie gelijk aan A(1,2,3)+B(4,5,6), dus dat is dan
A*(a(2,1,0)+b(1,1,1))+B*(c(2,1,0)+d(1,1,1))
= (Aa+Bc)(2,1,0)+(Ab+Bd)(1,1,1)
dus is een element van W. Een willekeurig element van V zit dus in W, of nog VÍW.

Groeten,

Christophe
25-5-2006