WisFaq!

Bewijs gelijkbenige driehoek

Hallo,

In een driehoek ABC is het punt D het snijpunt van bissectrice van A en BC. Er is gegeven dat het middelpunt van de omschreven cirkel en het middelpunt van de ingeschreven cirkel samenvallen. Toon aan dat ABC gelijkbenig is (...heb ik gevonden in een boek van wiskunde maar vind het zelf niet).

Hopelijk kan u me helpen, groetjes

Jeroen
12-5-2006

Antwoord

Hallo Jeroen,

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het punt dat evenver ligt van alle drie de hoekpunten, dus het punt dat op alle drie de middelloodlijnen ligt, en dus het snijpunt van de drie middelloodlijnen.

Analoog is het middelpunt van de ingeschreven cirkel het punt dat evenver ligt van alle drie de zijden, en dus het snijpunt van de drie deellijnen (bisectrices).

Conclusie: elke bisectrice valt samen met een middelloodlijn.

Nu, kies een punt (vb A), laat van hieruit de bisectrice neer op BC, zo krijg je het punt D waarover je spreekt, je weet dat AD ook de middelloodlijn van BC is (net bewezen). Gebruik nu een congruentiekenmerk op de twee driehoeken ABD en ACD: zo toon je aan dat de hoeken B en C gelijk zijn (of ook dat de zijden AB en AC gelijk zijn).

Zo heb je bewezen dat ABC gelijkbenig is, je kan ook bewijzen dat hij gelijkzijdig is door dezelfde truc nog eens over te doen, maar nu vertrekkend vanuit een ander punt, bijvoorbeeld B.

Groeten,

Christophe
14-5-2006