WisFaq!

Hilbertruimte

Hallo wisfaq,

Laat H een Hilbertruimte zijn en stel dat S={e_a} (a in A) een orthonormale verzameling is in H.Ik wil bewijzen dat er een orthonormale basis bestaat van H die deze S bevat.

Ik heb zelf het volgende maar ik weet niet of het correct is.Ik maak gebruik van:
1.Theorie.Ieder orhtonormale deelverzameling van H is bevat in een maximale orthonormale deelverzameling van H.
2.Het lemma van Zorn.
3.Stelling.Laat {e_j} een orthonormale verzameling zijn.Dan is het een basis van H d.e.s.d.a.
||x||^2=som_{j=1}^{oneindig} {(x,e_j)^2} (4)
voor alle x in H.

Ik gebruik 2. om te laten zien dat ieder Hilbertruimte een basis heeft.Laat P={orth. deelverz'n van H}, en definieer een orde op P zodat a=b als a bevat in b of a=b.Als {C_i} een keten is (i in I) dan is D=vereniging van alle C_i, een bovengrens.Het lemma van Zorn impliceert nu dat er een max.orth.verz. {e_i} bestaat (i in I).Het argument van het tweede deel van 3. laat nu zien dat de {e_i} een basis vormen.

opmerking:'Het argument van het tweede deel van 3.'Hier bedoel ik mee dat je dus moet aannemen dat (4) geldt voor alle x in H.Is dit correct?

Dus er kan een max.orth.deelverz. van H gevonden worden dat een basis is.En omdat ieder orth.deelverz. in H bevat is in een max.orth.deelverz. van H (dat een basis is), volgt nu dat er een orth. basis van H bestaat dat S bevat.

Groeten,
Viky

viky
9-5-2006

Antwoord

Je gebruikt inderdaad het lemma van Zorn om je gegegevn S uit te breiden tot een maximale orthonormale verzameling T. Echter, je moet nog wel bewijzen dat zo'n maximale orthonormale verzameling aan (4) voldoet, dan pas mag je concluderen dat T een basis is. Overigens zou T best nog overaftelbaar kunnen zijn en dan kun je niet zomaar over een som_{j=1}^{oneindig} praten.
Neem een x in H.
Stap 1: schrijf, voor elke t in T: l_t=(x,t) (het ip van x en t); de ongelijkheid van Bessel geeft dat som{t in F}l_t²||x||² voor elke eindige deelverzameling van T. Dit betekent dat er maar aftelbaar veel t's zijn met l_t¹0.
Stap 2: omdat H volledig is en omdat er eigenlijk maar een aftelbare som staat volgt dat y=som_{t in T}l_tt bestaat.
Stap 3: merk op dat x-y loodrecht staat op elke t in T, dus x-y=0 en dus x=y. Dus x is een (oneindige) lineaire combinatie van de elementen van T.

kphart
17-5-2006