WisFaq!

Integralen zonder primitieve

Beste,

ik zit bij twee integralen volledig vast.ik moet aantonen dat:
|Ö3 |
1)|ò(e^-x*sinx)dx/(x²+1)| p/12e
|1 |

2)voor alle n Î geldt:
|1 |
|ò(cos(nx) / (x + 1))dx|ln2
|0 |

Bij beide probeerde ik dus de primitieve te vinden eerst.
Na wat herschrijfwerk,2 keer partiële integratie en één keer substitutie kreeg ik bij 1 het volgende:

(-e^-x+ 1)*(sinx + cosx) / (2x²+2) - 1/2ò(cosx - sinx)dx/(x²+1)

Als ik dan die laatste integraal probeer op te lossen zit ik volledig vast, is dat dan omdat er iets fout is aan mijn oplossingsmethode (zoja, wat?) of omdat deze functie geen primitieve heeft? En zoja, hoe zou ik dit dan kunnen bewijzen?

Ook bij de tweede integraal zie ik na enkele keren partiële integratie dat ik er niet uit zal komen op deze manier...dezelfde vraag dus voor 2 als voor 1.

Met vriendelijke groet.

Raphaël
17-4-2006

Antwoord

Beste Raphaël,

Je weet dat zo'n bepaalde integraal de oppervlakte onder de grafiek voorstelt. Het is hier, denk ik, niet de bedoeling om echt te integreren (dat gaat moeilijk tot niet) maar om een goede afschatting te maken.

Zoek dus een gepaste bovengrens voor beide integralen die je wel eenvoudig kan uitrekenen en waarmee je hopelijk kan aantonen dat de integraal kleiner is dan de opgegeven waarde.
Denk daarbij aan sin(x) en cos(x), die in absolute waarde nooit groter zijn dan 1, en hou rekening met de grenzen (wat is een bovengrens voor e^-x op het beschouwde interval?)

Probeer even verder

mvg,
Tom

td
17-4-2006