WisFaq!

Re: Primitiveren

Beste,

Ja ik ben zeker van die eerste opgave...maar weet u toevallig ook waarom $\int{}$ln(sinx)·dx geen oplossing heeft in $\mathbf{R}$?
En ik vroeg me ook af of het niet mogelijk is de integraal op te lossen via complexe getallen.
Aangezien: als z = cosx + isinx = e^ix
dan is z - z^-1= 2isinx
(makkelijk te bewijzen voor zⁿ - z^-n = 2isin(nx) door de goniometrische vorm van z in te vullen)
dus dan is sinx = -i/2·(e^ix - e^(-ix))
Is het mogelijk dat de integraal wel een oplossing heeft in $\mathbf{C}$ mbv deze substitutie? Jammer genoeg heb ik wel nooit geleerd hoe je integreert in $\mathbf{C}$...( deze integraal staat als oefening op mijn eindwerk wiskunde, en ik mocht/moest soms methodes gebruiken die we niet hebben behandeld)

De tweede integraal klopt inderdaad. Ik had die echter nog niet geprobeerd aangezien ik verwachtte dat deze even moeilijk ging zijn als de eerste (waar al vele uren aan verspild zijn)

Hartelijk bedankt

Raphaël
15-4-2006

Antwoord

Beste Raphaël,

Het is niet zo dat die integraal 'niet bestaat' in . Zoals je waarschijnlijk weet stelt zo'n integraal een oppervlakte voor, gelegen tussen de curve en de x-as op het interval waarover je integreert. Die oppervlakte bestaat, maar kunnen we in het algemeen niet exact uitdrukken zonder een integraal in het antwoord te laten.

Dat komt omdat er voor de functie f(x) = ln(sin(x)) geen primitieve functie F(x) kan gevonden worden, waarvoor F'(x) = f(x), want dat is precies wat zo'n "onbepaalde integraal" voorstelt. Dit betekent dat we zo een primitieve functie niet kunnen uitdrukken met behulp van elementaire functies. In enkele bijzondere gevallen is het wel mogelijk om de bepaalde integraal expliciet uit te rekenen.

mvg,
Tom

td
15-4-2006