WisFaq!

Compactheid

hallo, ik zit met een probleem

Men zegt dat de verzameling ]0,1] niet compact is want :

de open overdekking : collecte B (]1/n, 2[) heeft geen eindige deeloverdekking

Ik snap niet waarom deze collecte geen eindige deeloverdekking heeft. (n element van natuurlijke get zonder 0)


Bedankt!, winny

winny
11-4-2006

Antwoord

Beste Winny,

De open overdekking bevat de eerste verzameling omdat 1/n willekeurig dicht bij 0 kan komen met n voldoende groot. Vanaf het moment dat je n begrenst heb je wel eindigheid, maar dan is het geen open overdekking van de verzameling (0,1] meer.

Het feit dat (0,1] niet compact is volgt ook triviaal uit de stelling van Heine-Borel. Een deelverzameling S van ⁿ (hier n = 1) is compact enkel en alleen indien S begrensd en gesloten is, (0,1] is uiteraard niet gesloten.

mvg,
Tom

td
12-4-2006