WisFaq!

Oplossen sommen

Ik kom niet uit de volgende sommen zouden jullie me willen helpen want ik heb echter binnekort tentamen.

Y´=Y² Y´=3-2Y
Y´=xy/x²+1

en (1+2x²)Y´=8xy

bvd robbie

robbie
7-4-2006

Antwoord

Beste Robbie,

Al deze differentiaalvergelijking zijn op te lossen door middel van 'scheiden van veranderlijken'. Dat betekent dat je alles wat van y afhangt naar één lid brengt, met dy uiteraard, en alles wat van x afhangt naar het andere lid, met dx. Die dy en dx komen natuurlijk van y', vermits y' = dy/dx. Wanneer je dat gedaan hebt ga je beide leden integreren, vervolgens los je op naar y.

Het is hier echter niet de bedoeling dat wij gewoon jouw opgaven gaan maken. Ik zal de tweede voordoen; de eerste moet dan ook zeker lukken, de volgende twee probeer je maar. Als die niet helemaal lukken kan je om extra uitleg vragen, maar dan moet je wel tonen wat je al geprobeerd hebt.

y' = 3-2y
dy/dx = 3-2y
dy = (3-2y)dx
dy/(3-2y) = dx
ò dy/(3-2y) = ò dx
-1/2 ln|3-2y| = x + c
ln|3-2y| = -2x + c
e^ln|3-2y| = e^{-2x + c}
3-2y = c.e^-2x 2y = 3-c.e^-2x
y = 3/2-c.e^-2x

Het enige dat ik hierbij nog wel opmerken is dat de integratieconstante c tijdens mijn uitwerking niet 'hetzelfde' blijft. Bijvoorbeeld, op een bepaald moment haal ik de constante uit de e-macht en zet ik hem ervoor. Immers, e^c is zelf opnieuw een constante en om niet teveel verschillende letters in te voeren noem ik deze opnieuw gewoon c. Dit komt nog een aantal keer voor in de uitwerking.

mvg,
Tom

td
7-4-2006