WisFaq!

Lineaire afbeelding

Hoi,

Ik zit met de volgende vraag;

Gegeven is achtereenvolgens een rotatie in R³ om de X₁-as over 30 graden (van X₂ naar X₃) en vervolgens een vlakspiegeling in het coordinatenvlak X₂OX₃.

A: Bepaal de transformatiematrix van de samengestelde transformatie
B: Is de volgorde waarin beide transformaties worden uitgevoerd van invloed? Waarom?
C: Is de afbeelding orthogonaal? Waarom?
D Is de inverse transformatie mogelijk? Zo ja, bepaal de bijbehorende transformatiematrix

Bart
3-4-2006

Antwoord

We spreken af dat we met kolomvectoren werken. Ik zal ze als rijen met een accent erachter noteren.
De matrix van een lineaire transformatie in ³ heeft dan als kolommen de beelden van de basisvectoren. Stel dat we de standaardbasis nemen, ttz de eenheidsvectoren op de coördinaatassen.
Bekijk de eerste transformatie, en bekijk wat er onder die transformatie gebeurt met de basisvectoren.
De eerste basisvector (1,0,0)', die blijft onveranderd onder rotatie om de X1-as.
Dus de eerste kolom van de matrix is (1,0,0)' .
De tweede basisvector (0,1,0)' wordt afgebeeld op (0,cos(30°),sin(30°))' onder rotatie over 30° rond de X1-as.
En de laatste (0,0,1)' op (0,-sin(30°),cos(30°))'
We hebben dus voor de matrix van de rotatie over 30° om de X1-as:


Het beeld van een vector (a,b,c)' bereken je nu door de vector langs links met deze matrix te vermenigvuldigen.

Doe nu net hetzelfde met de tweede transformatie. De samengestelde transformatie wordt dan bepaald door het product van de twee matrices. Let goed op de volgorde. De inverse transformatie wordt bepaald door de inverse matrix.
En een transformatie T is orthogaal als T maal T getransponeerd gelijk is aan de eenheidsmatrix.

km
4-4-2006