WisFaq!

Verschillen van rijen van machten

Beschouw een willekeurig natuurlijk getal p. Beschouw vervolgens de rij met algemene term N^k waarbij n dus alle natuurlijke getallen doorloopt.
Definiëren we nu een tweede rij die bestaat uit de verschillen van de opeenvolgende termen uit de vorige rij (tweede min eerste, derde min tweede,...). Blijven we dit proces herhalen dan zien we dat de p-de rij constant is en dat alle termen gelijk zijn aan p! (p faculteit).
Wat is hiervoor de verklaring?

pepijn de petter
24-3-2006

Antwoord

Beste Pepijn,

Jouw "tweede rij" noemen we de (eerste) verschilrij. Jouw derde rij de tweede verschilrij. Enz.

Dat is een heel leuke stelling. Toen ik zelf in zes gymnasium zat opperde een klasgenoot van mij deze ook al eens, en heb ik het met een hoop "blind" rekenwerk weten te bewijzen. Maar eigenlijk had ik toen niet de crux in de gaten, waardoor de stelling zonder al te veel rekenwerk goed te begrijpen is.

Het heeft allemaal te maken met het Het Binomium van Newton. Daaruit blijkt:

(N+1)^k = N^k + k·N^k-1 + lagere machten van N.

Dus (N+1)^k - N^k = k·N^k-1 + lagere machten van N.

We kunnen nu concluderen:

• De verschilrij van een rij met een k-de graads formule is een rij met een k-1-de graads formule.
  
• De factor voor N^k-1 in de verschilrij is k maal zo groot als factor voor N^k in de oorspronkelijke rij.

Deze conclusies tonen aan dat het herhaaldelijk verschilrijen nemen van een rij met formule N^k leidt tot een constante rij met als constante k!.

*****

Medebeantwoorder kn doet het bewijs als volgt:

Zij E de verschuivingsoperator, Ef(x)=f(x+1) en D de verschil operator, d.w.z. Df(x)=f(x+1)-f(x). Dan is D=E-1. Hieruit volgt dat

D^p(x^p)= (E-1)^p(x^p) =
S_0kp(-1)^k(kCp)E^p-k (x^p) =
S_0kp(-1)^k (kCp)(y-k)^p = p!,
met y=x+p en kCp=p boven k.

De laatste stap is te bewijzen met inductie.

Zie Ask Dr. Math: Finding Sum Formula using Sequences of Differences [http://mathforum.org/library/drmath/view/56383.html]

FvL
25-3-2006