WisFaq!

Deelgroepen en morfismen

Ik zit met enkele problemen bij het hoofdstuk deelgroepen en morfismen:

Opmerking: de getallen achter de getalverzamelingen moeten in subscript staan.

1) Er is gevraagd ofdat 2+1 een deelgroep is van 0,°. Hoe kan ik dat aantonen?

2) Vraag: Bestaat er een niet triviale deelgroep van 4,+ ? Van 5,+ ? Van 4\{[0]},. ? Van 5\{[0]}, . ?
Ik heb de Cayleytafels reeds opgesteld. Hoe kan ik dan makkelijk te werk gaan om zo'n deelgroep te vinden?

3) Opgave: Beschouw de groep ,+ en de groep x,+ met (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
Bewijs dat de afbeelding f: X--: (x,y)--x een morfisme is.

Ik moet dus bewijzen dat "a,b,c,dÎ: f[(a,b)+(c,d)] = f(a,b)+ f(c,d)
Ik weet dus dat f[(a,b)+(c,d)]=f(a+c,b+d), maar ik geraak niet verder...

4)Opgave: We beschouwen de afbeeldingen in 0(in subscript):
f1: x--x
f2: x--1/x
f3: x---x
f4: x-- -1/x
Onderzoek of {f1,f2,f3,f4},° isomorf is met D{a,b},D(delenverz.)en met 2 X2,+
Hoe kan ik dat onderzoeken?

Alvast bedankt!

Litseke
22-3-2006

Antwoord

Allereerst moet je goed de definitie van deelgroep (ondergroep) op je in laten werken.
1) ik neem aan dat de bewerking vermenigvuldiging is. Je moet nagaan of elk product van oneven gehele getallen weer een oneven geheel getal is en voor elk oneven getal k de inverse 1/k ook oneven en geheel is; dat laatste is niet zo: 1/3 is niet geheel. Dit is geen ondergroep.
2) je kunt altijd proberen voor elk element alle veelvouden/machten op te schrijven, dat levert altijd een ondergroep op en soms ook een niet-triviale. In (₄,+) vind je zo de ondergroep {0,2}; in (₅,+) zul je zien dat er geen niet-triviale ondergroepen zijn. Je derde, (₄\{0},×), is geen groep en in (₅\{0},×) zijn weer geen niet-triviale ondergroepen te vinden.
3) f(a+c,b+d)=a+c=...
4) Maak van alledrie groepen de Cayley-tafels, je zult zien dat in feite elke bijectie die het ene eenheidselement op het andere eenheidselement afbeeldt een isomorfisme is. (Je ziet daar dus driemaal dezelfde groep: de Viergroep van Klein).

kphart
26-3-2006