WisFaq!

Een hersenbreker

Hallo,
Ik zit met een wiskundige hersenbreker. Een integraal waar ik echter niet aan uitkom, maar ze is op te lossen alleen weet ik niet hoe eraan te beginnen:
$\int{}$^{(3x4 + 11x3 - 5x2 + 19x-1)dx}/_{(x⁶-2x³+1)}
Kan iemand mij een tip geven hoe te beginnen,
Groeten

Slein Depot
18-3-2006

Antwoord

Beste Slein,

Aan de coëfficiënten van de veelterm in de noemer zie je direct dat x = 1 een nulpunt is, dus een factor in de ontbinding. Met behulp van bijvoorbeeld de regel van Horner vind je de overblijvende veelterm van de vijfde graad en ook die zal nogmaals deelbaar zijn door (x-1). Er blijft dan een veelterm van de vierde graad over die je kan schrijven als een kwadraat van een kwadratische veelterm. Veel woorden om te komen tot:

x⁶-2x³+1 = (x-1)²(x²+x+1)²

Als je dit hebt kan je de breuk gaan splitsen in partiële breuken, zie ook breuksplitsen. Helaas zal dat hier geen aangenaam karwei zijn, maar het is vooral rekenwerk.

mvg,
Tom

td
18-3-2006