WisFaq!

Bepaalde integraal toepassing substitutie

Door toepassing van de substitutie t=cos² wordt $\int{}$^...1/2₀ √[t(1-t)].dt=[$\int{}$^...$\pi$/2_..$\pi$/m(sin 2u)²/k.du
ok wat achter die sup..sup staat da is het getal dat boven de integraal staat en wat achter sub...sub... staat is het getal onder de integraal ok de vraag is dat ik k en m moet bepalen ;
Kan iemand mij dit met veel geduld uitleggen met veel tussenstappen en uitleg
Dank u wel

giovanni armani
12-3-2006

Antwoord

Hallo

Ik veronderstel dat je de volgende integraal bedoelt :
$\int{}$√[t(1-t)].dt met t = ¹/₂ als bovengrens en t = 0 als ondergrens.

Je stelt t=cos²u.
Dan dt = 2.cos u.d(cos u) = -2.cos u.sin u.du = -sin 2u.du
√[t(1-t)] = √[cos²u.(1-cos²u)] = √[cos²u.sin²u] =
cos u.sin u = ¹/₂.2.cos u.sin u = ¹/₂.sin 2u

$\int{}$√[t(1-t)].dt wordt dan
$\int{}$-¹/₂.sin²2u.du

Ook de grenzen moeten uitgedrukt worden in u :
De bovengrens t = ¹/₂ wordt cos²u = ¹/₂; dus cos u = ^√2/₂; hieruit volgt dat u = ^$\pi$/₄

De ondergrens t = 0 wordt cos²u = 0 of cos u = 0; dus u = ^$\pi$/₂

Je hebt dus $\int{}$-¹/₂.sin²2u.du met u=^$\pi$/₄ als bovengrens en u=^$\pi$/₂ als ondergrens.
Als je boven- en ondergrens verwisselt verandert de integraal van teken, dus heb je
$\int{}$¹/₂.sin²2u.du met u=^$\pi$/₂ als bovengrens en u=^$\pi$/₄ als ondergrens.

Als je deze bepaalde integraal verder uitwerkt bekom je als eindresultaat ^$\pi$/₁₆

LL
12-3-2006