WisFaq!

Ringen en lichamen en oppervlakte

Beste wisfaq,

voordat ik mijn vraag stel wil ik zeggen dat ik GEEN wiskunde of andere beta-vak studeer het is puur een hobby, net als bij Fermat.

Ik heb een vraag die gaat over engelse benamingen en eentje die gaat over het begrip oppervlakte.

Ik wil graag weten wat de Engelse term voor het wiskundige begrip lichaam is. Ik heb in een boek het woord: field zien staan. Is dat de juiste engelse term? wat is het verschil tussen een lichaam en een ring?

Nu het begrip oppervlakte. In de wiskunde betekent het begrip oppervlakte in mijn woorden: een eindig 2-dimensionaal systeem van punten of elementen of anders gezegd: een eindig aantal punten dat onstaat door het samenvoegen van 2 factoren (bijv. x en y)volgens het Cartesiaanse assenstelsel.(corrigeer me als ik het fout interpreteer)

Het viel mij op dat er in de wiskunde geen onderscheid wordt gemaakt tussen de oppervlakte van een bol of een cirkel. Oppervlakte is oppervlakte.

Maar ik ben het hier niet mee eens. Er is wel degelijk een verschil tussen de oppervlakte van een bol of cirkel. Een cirkel is een plat vlak, dat is de bol niet. Je mag zelfs stellen dat een boloppervlakte ook een derde dimensie erbij heeft omdat het niet PLAT is, maar juist een kromming vertoont. Vandaar dat de oppervlakte van een cirkel wel voldoet aan mijn definitie voor een oppervlakte, maar een bol niet.

Mijn conclusie is: de oppervlakte van een bol kan je wel berekenen maar het IS geen oppervlakte volgens mijn definitie.

ps: ik weet zelf niet hoe men aan de formule 4 r² komt zonder het toepassen van de Riemann of Cauchy integraalrekening.

Groeten
Peter

peter
23-9-2002

Antwoord

Een ring is een verzameling elementen waarvoor zowel een optelling als een vermenigvuldiging is gedefinieerd, zodat aan de volgende eigenschappen is voldaan:

1) a + b en a.b behoren altijd weer tot de verzameling

2) a + (b + c) = (a + b) + c en a.(b.c) = (a.b).c
3) a + b = b + a
4) a + x = b is oplosbaar binnen de verzameling
5) a(b + c) = a.b + a.c
6) (a + b).c = a.c + b.c

Een lichaam heeft nog meer structuur dan een ring, want een lichaam is een ring waarbij de vergelijkingen a.x = b en y.a = b voor elke a¹0 oplosbaar is.

Belangrijkste voorbeelden van een lichaam zijn de rationale getallen en de reële getallen en de complexe getallen.
Bij dit soort begrippen gaat het echter niet per definitie over getallen. Het kunnen ook functies zijn of veeltermen of matrices, kortom alles met een rijke structuur die op de structuur van de getallenwereld lijkt.
Het juiste woord is overigens inderdaad "Field"in de Engelse literatuur.
De begrippen horen thuis in de abstracte algebra.

Wat de oppervlakteopmerking betreft: je schrijft er gelukkig bij dat het niet aan JOUW definitie voldoet. Misschien is die definitie niet geheel conform de wiskundige definitie die men hanteert.
Het begrip oppervlakte wordt volledig exact gedefinieerd aan de hand van bijv. integralen en ook de bol past dan keurig in het alledaagse begrip dat men ervan heeft.

De oppervlakteformule voor de bol is al zeer oud en was al bekend voor de ontdekking van de integraalrekening; met ingenieuze technieken wist men de formule af te leiden. In die afleiding herken je toch al wat eerste stappen van wat later met limietprocessen werd gedaan.

MBL
24-9-2002