WisFaq!

Bewijs van een integraal voor n, voor n+1,

Opgave: I(n) = ò(dt/(t²+1)^n)
Gevraagd: Bewijs dat voor alle n element van n zonder nul geldt dat I(n+1)= (t/(2n(t²+1)^n) +((2n-1)/(2n)) maal I(n)
Dit moet gedaan worden met behulp van partiele integratie enerzijds en anderzijds door af te leiden. Bij beide loopt het fout.
Bij de partiele integratie heb ik al geprobeert het volgende te doen:
I(n+1) = ò(t²+1)^-n maal (t²+1)^-1 dt
= ò(t²+1)^-n maal d(bgtant)
Partiele integratie geeft dan
= bgtant(t²+1)^-n -òbgtan . -n(t²+1)^(-n-1) . 2tdt
gelijk wat ik nu vanaf deze stap doe word de integraal alsmaar langer en moeilijker
Wat zie ik over het hoofd?
Bij afleiden zit ik uiteindelijk vast op (1-(2t²n/(t²+1)) +2n-1) / ((t²+1)^n)2n
Het is echt alsof niks van die oefening uitkomt.. Kan iemand me helpen?

ludwin
3-3-2006

Antwoord

Ludwin, het gaat als volgt met partiéle integratie:
I(n)=t(t²+1)^-n +2nòt²(t²+1)^-n-1 dt=
=t(t²+1)^-n +2nò(t²+1-1)(t²+1)^-n-1 dt=
=t(t²+1)^-n +2nI(n)-2nI(n+1).
Hopelijk zo duidelijk.
Groetend,

kn
4-3-2006