WisFaq!

Fermat's Laatste Stelling

Recentelijk kwam Fermats Laaste Stelling ter sprake:
x^n+y^n=z^n waarin voor x,y,z =1,2,3....en n=0,3,4,5,6....er geen oplossingen zijn. Als ik in plaats van x,y,z imaginaire getallen neem ix,iy,iz dan resulteert dat in een identieke situatie als voor reele getellen: Bijvoorbeeld voor n=2--->-x^2-y^2=-z^2 en is de Pythagoras vergelijking. Voor n is even alle mogelijkheden zijn dus iedentiek met de reele getallen. Voor oneven getallen het zelfde odat elke keer de "i" of de "-i" uite het resultaat wegvalt.

De volgede stap is om n imaginair te maken: er instaan dan dit soort vergelijking ix^ia +iy^ib=iz^ic----->xe^(- a/2) +ye^(- b/2)=ze^(- c/2). Deze getallen kunnen uiteraard gekozen worden zodat er wel of geen oplossing is. De vraag nu is of er voor deze aanpak een herkenbare set imaginaire exponenten zijn waarvoor en geen oplossingen zijn zoals het geval is voor de reele getallen. Ik kom er niet uit. De volgende mogelijkheid is dat we complexe getallen gebruiken: z1^n+z2^n=z3^n waar n ook complex is. Hier kom ik helemaal niet meer uit. Bestaat er een herkenbare set complexe getallen en exponenten waarvoor er geen oplossingen zijn?

Conrad Winkelman
21-9-2002

Antwoord

Hoi,

Voor de duidelijkheid:
Fermat's laatste stelling bepaalt dat
xⁿ+yⁿ=zⁿ met n geheel en n>2 geen oplossing heeft voor NATUURLIJKE x, y en z.

Voor reële, imaginaire en complexe x, y en z bestaan die uiteraard wel... Wanneer we n ook 'vrij' laten en reële of complexe waarden laten aannemen, krijgen we ook oplossingen.
Kies dus n en 2 van x,y en z en je kan de 3de gewoon berekenen in of ...
(Met wat rondsnuffelen vind je wel wat info over rekenen met complexe getallen - polaire/Euler-notatie, exponenten, wortels trekken enz.)

Groetjes,

Johan

andros
25-9-2002