WisFaq!

Verschillende substituties na elkaar

Berekenen van de integraal van 1/sqrt(5x-x²).

Ik gebruikte de substitutie t = 2.5 - x en vind zo als oplossing -sqrt(2/5).Bgsin((2.5-x)/6.25) wat niet juist is kunnen jullie mij helpen?

Een tweede integraal was deze van sqrt(x² + 2x +10) hier nam ik eerst de substitutie t =x+1, vervolgens t =3 shu maar ook hier krijg ik het juiste antwoord niet???

Vanneste Diana
17-2-2006

Antwoord

Voor de eerste integraal stel je Öx=t. (Ö(5-x)=t zou ook kunnen).
Dan is x=t², en dx=2t.dt
Je bekomt dan ò^2t.dt/_{Ö(5t²-t⁴)} = ò^2dt/_Ö(5-t²)
Dit leidt dan tot een Bgsin
Je vindt als eindresultaat : Bgsin(^(2x-5)/₅)

Voor de tweede integraal stel je inderdaad x+1 = t
Je bekomt dan de vorm : Ö(t²+9)
Door partiële integratie kun je aantonen dat :

òÖ(t²+9).dt = t.Ö(t²+9) - ò^t2/_Ö(t²+9).dt

Schrijf nu -ò^t2/_Ö(t²+9).dt =
-ò^{(t2+9 -9)}/_Ö(t²+9).dt =
-òÖ(t²+9).dt + 9ò¹/_Ö(t²+9).dt

Deze eerste integraal is terug de opgave en breng je naar de linkerkant.
De tweede integraal leidt naar een "ln".

Je bekomt alzo :
¹/₂.t.Ö(t²+9) + ⁹/₂ln[Ö(t²+9)+t]
Vervang nu t door x+1

LL
17-2-2006