WisFaq!

Ringen en lichamen

Hoi,
Ik moet onderzoeken of de volgende verzamelingen, met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging van reële getallen, een ring of wellicht zelfs een lichaam is.
1) alle getallen van de vorm a+bÖ2, met a,b in (Q)
2) alle getallen van de vorm a+bÖ2 + cÖ3, met a,b,c in(Q)
3) alle getallen van de vorm a+b³Ö2, met a,b in (Q)

Ellie
10-2-2006

Antwoord

Ik zou zeggen: ga je gang. Alle getallen behoren tot R en dat is een lichaam. Je hoeft dus alleen maar te controleren of het deelringen of deellichamen van R zijn en V is een deelring van R als voor elke x,y in V geldt dat x+y en x*y weer in V zitten; als bovendien voor x¹0 in V altijd 1/x in V zit dan is V een deellichaam.
1) Je moet dus nagaan dat (a+bÖ2)+(c+dÖ2) en (a+bÖ2)*(c+dÖ2) weer te schrijven zijn als p+qÖ2 met p en q in Q (dat is zo) en als 1/(a+bÖ2) ook nog zo te schrijven is heb je zelfs een lichaam: dat laatste gaat als volgt: vermenigvuldig teller en noemer met a-bÖ2, dan krijg je a/(a²+2b²)-b/(a²+2b²)*Ö2 en dat is als gewenst.
2) en 3) dat zijn geen deelringen: Ö6=Ö2*Ö3 zit niet in de verzameling van 2) en (³Ö2)^2 zit niet in de verzameling bij 3)

kphart
14-2-2006