WisFaq!

Volledige inductie

Bewijs dat k=0ån-1 1/[(n+k)(n+k+1)] = 1/2n, voor n1

De basisstap is in orde.
Als je dan de inductiehypothese hebt toegepast krijg je:
1/2n + 1/[(2n)(2n+1)]
Dit moet natuurlijk gelijk zijn aan 1/(2n+2)
Maar het lukt niet om dat aan elkaar gelijk te krijgen.

Alvast bedankt

Thomas
9-2-2006

Antwoord

Dag Thomas,

Je kan die twee uitdrukkingen niet aan elkaar gelijk krijgen, want ze zijn niet gelijk, vul maar eens een willekeurige n-waarde in.

Wat is er dan fout gelopen? Wel, de termen in de som hangen van n af, en daar heb je geen rekening mee gehouden. De inductiehypothese is:
SOM(k=0..n-1) 1/((n+k)(n+k+1)) = 1/(2n)
Te bewijzen is:
SOM(k=0..n) 1/((n+1+k)(n+1+k+1)) = 1/(2(n+1))

Zoals je ziet heb ik de uitspraak 'vertaald' door telkens n te vervangen door n+1. Dus ook in de termen van de som!

Nu, hoe bewijs je dit met inductie:
SOM(k=0..n) 1/((n+1+k)(n+k+2))
= SOM(k'=1..n+1) 1/((n+k')(n+k'+1))
door de substitutie k'=k+1. Ik heb daarvoor gekozen om de somtermen in dezelfde vorm te krijgen als in de inductiehypothese.

Probeer nu de inductiehypothese te gebruiken. Je hebt nog wel wat werk om alles op te tellen (want k' loopt niet van 0 tot n-1 zoals in de inductiehypothese, maar wel van 1 tot n+1). Maar uiteindelijk komt het braaf uit op 1/(2n+2).

Groeten,
Christophe.

Christophe
9-2-2006