WisFaq!

Constructievraag matrix

Hey,

We krijgen dit jaar op het examen een constructievraag waaruit we met enkele gegevens een matrix moeten opstellen. Nu zit ik met een extra opgave compleet vast. De vraag is om een symmetrische 4x4 matrix te construeren met dubbele eigenwaarde 1 en dubbele eigenwaarde 2 waarbij de eigenruimte bij eigenwaarde 1 wordt opgespannen door 1,1,1,1 en 1,1,0,0.
Ik heb eerst een volgende matrix geconstrueerd

a b c d
b e f g
c f h i = A
d g i j

Hierdoor heb ik de zestien onbekenden gereduceerd tot tien onbekenden. Daarna heb ik de eigenvectoren uitgewerkt wat me 8 vergelijkingen geeft. Ik dacht eraan om daarna de karakteristieke veelterm op te stellen en te eisen dat de eigenwaarden 1,1,2,2 zijn maar dit is toch een gigantische job voor zo een matrix? Is er een andere manier of zit ik toch op de goede weg?

Groeten

Van Camp Dimitri
1-2-2006

Antwoord

Dag Dimitri,

Lijkt mij inderdaad een opgave waar je uren op kan rekenen als je het niet helemaal juist aanpakt... Ik heb het op de volgende manier gedaan (waarschijnlijk zijn er nog andere mogelijkheden hoor)

Over symmetrische matrices weet je dat AQ=QD met Q de matrix met eigenvectoren op de kolommen, D de diagonaalmatrix met de eigenwaarden. Schrijf dit eens uit (of toch voor de twee kolommen die je krijgt met de eigenwaarde 1, dus waarvoor je de eigenvectoren hebt). Dat geeft je al veel info: ik kwam op
f=d=-c, g=c, h=j, i=1-h, e=a=1-b
Je kan dus de hele matrix schrijven met enkel c,h,b.

Daarna heb ik gebruikt dat een symmetrische matrix diagonaliseerbaar is, en dat dus ook bij de eigenwaarde 2, 2 eigenvectoren horen die loodrecht staan op die bij de eigenwaarde 1. Als je die orthogonaliteit uitwerkt zie je dat die eigenvectoren allebei noodzakelijk de vorm (x,-x,y,-y) hebben. Echter, y=0 kan daarbij niet in allebei de vectoren, anders zouden ze een veelvoud van elkaar zijn. Dus de twee vectoren kan je schrijven als (t,-t,1,-1) en (u,-u,v,-v). Bovendien kan je ook in de andere vector aannemen dat v niet nul is: als je twee eigenvectoren hebt bij één eigenwaarde, dan kan je één van de twee vervangen door een lineaire combinatie van beide. Dus je kan er van uit gaan dat je twee eigenvectoren zijn: (t,-t,1,-1) en (u,-u,1,-1).

Nu kan je weer opschrijven AQ=QD, waarbij A alleen nog de letters b,c,h bevat, en Q enkel nog t en u. Het stelsel dat dan ontstaat (eigenlijk 16 vergelijkingen!) bevat nog 4 vergelijkingen. Niet meteen op te lossen lijkt het, maar dan moet je er nog aan denken dat t niet gelijk mag zijn aan u (anders zijn je twee eigenvectoren weer veelvouden). Dat zal leiden tot c=0, en dat geeft dan weer b=-1/2 en h=3/2. t en u kan je niet bepalen, en dat is maar logisch ook want elke t en u geeft je een eigenvector. Maar je hebt dan wel de volledige A vastgelegd...

Fijne oefeninkjes :-)
Groeten,
Christophe.

Christophe
1-2-2006