WisFaq!

Deelbaarheid bewijzen met inductie

Hoe kan je algemeen bewijzen dat n·(n²+5) deelbaar is door 6 voor alle n die behoren tot de verzameling natuurlijke getallen? Ik heb geprobeerd via de methode van volledige inductie maar kom zo niet tot een algemeen bewijs.

Benjamin Possemiers
24-1-2006

Antwoord

Dag Benjamin,

Je kan dit inderdaad onder meer met inductie bewijzen. De basisstap is dan niet moeilijk: vul n=0 in en kijk na dat het resultaat deelbaar is door 6.

De inductiestap dan: je gaat er van uit dat n(n²+5) (laten we dit f(n) noemen) deelbaar is door 6. Je moet aantonen dat
f(n+1) = (n+1)((n+1)²+5) = (n+1)(n²+2n+6) = n³+2n²+6n+n²+2n+6 = n³+3n²+8n+6 deelbaar is door 6.

Nu kan je volgende truc gebruiken: er is een eigenschap die zegt dat als twee getallen deelbaar zijn door een getal a, dat dan de som, en ook het verschil van die twee getallen, deelbaar zijn door a. Als je dat hier toepast dan zal je wel inzien dat het voldoende is te bewijzen dat f(n+1)-f(n) deelbaar is door 6.

f(n+1)-f(n) = (n³+3n²+8n+6)-(n³+5n) = 3n²+3n+6

Je moet dus nog bewijzen dat 3n²+3n+6 deelbaar is door 6. (*) Dit is dan weer gelijkwaardig met: 3n²+3n = 3n(n+1) is deelbaar door 6. Dit is dan weer gelijkwaardig met: n(n+1) is deelbaar door 2 (zie je dat in?). En dat laatste blijkt dan altijd te kloppen (je kan namelijk twee gevallen onderscheiden: 'n is even' en 'n is oneven').

Als je dat laatste eerder lastig vond, dan kan je het stuk vanaf (*) ook anders doen, namelijk door weer met inductie te werken: is g(n)=3n²+3n+6 deelbaar door 6? Ja, want
- basisstap: g(0) is deelbaar door 6
- inductiestap: ga na dat g(n+1)-g(n) deelbaar is door 6. Dit komt dan heel mooi uit.

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-1-2006