WisFaq!

Orthogonale basis

Hallo, ik weet niet goed hoe deze oefening op te lossen, kan iemand me helpen aub?

Zij gegeven de functies over het interval [-p,p]. De ruimte F wordt voorgebracht door F=vect(1,sin(x),cos(x))

Zij gegeven het inwendig product:

ò(van -p tot p)(f(x)g(x)(cos(x))²)dx

Bepaal een orthogonale basis voor F.


Met mijn bewerking kom ik de hele tijd een basis 0 uit... maar ik vermoed dat dit niet klopt...

Alvast bedankt,

Tom

Tom
22-1-2006

Antwoord

Ok, even nadenken. Ik denk dat je bedoelt dat vect(1,sin(x),cos(x)) een vectorruimte is over, met een inproduct.

We willen een orthogonale basis. Laten we de eerste basisvector staan, en we bouwen twee loodrechte vectoren, die ook loodrecht staan op 1, en die dezelfde ruimte voortbrengen.

Die basis moet er zo uitzien:

(1, sin(x) + a*cos(x), sin(x) + b*cos(x))

Het komt erop neer a en b te bepalen zodat deze loodrecht zijn.

Neem dus een keertje f=1 en g=sin(x) + a*cos(x) en zet die in de integraal en eis nul. Doe hetzelfde voor f=1 en g= sin(x) + b*cos(x). En dan nog een keer voor f=sin(x) + a*cos(x) en g=sin(x) + b*cos(x)

Dan krijg je een voorwaarde op a en b....

Ik kom na deze berekeningen op de basis:

(1, sin(x) + cos(x), sin(x) - cos(x)/3 )


Maar dat is zeker niet de enige mogelijkheid, omdat je maar 1 voorwaarde hebt en twee onbekenden. Er is dus een parameter.



Succes!!!

km
22-1-2006