WisFaq!

Bij een homogene DV een particuliere oplossing vinden

Hallo,
Ik heb de volgende vraag,
Ik heb de volgende DV:
(d² y)/(dt²) + 6 dy/dt + 13y = 10·e^-2t
Als algemene opossing krijg ik hieruit:
y(x) = C1·e^(-3x)·cos(2x) + C2·e^-2t
Dit klopt, dan wil ik de oplossing bepalen gegeven y(0)=3 en y'(0)=-9, hiervoor moet ik eerst de particuliere oplossing bepalen, maar ik heb het idee dat ik het trucje niet helemaal goed begrijp, ik dcaht dat het was:
(d² y)/(dt²) + 6 dy/dt + 13y = 10·e^-2t
bekijken en dan kijken wat je bij vergelijking
13y = 10·e^-2t als y moet invullen, en dan heb je particuliere oplossing, klopt dit?
Verder zou ik graag willen weten wat de verdere algemene stappen zijn om dit probleem op te lossen, want bij ons is het niet zo makkelijk uitgelegd.
MVG Pieter

Pieter Mooren
21-1-2006

Antwoord

Beste Pieter,

Ben je zeker van de volledigheid van die oplossing? Let overigens op, je gebruikt zowel x als t als veranderlijke, ik neem aan dat het om dezelfde gaat en dat er niet twee zijn? Voor de gegeven DV (y(t) met ook x = t) vind ik als homogene oplossing:

y_h(t) = e^-3t(c₁cos(2t)+c₂sin(2t))

Om een particuliere oplossing te vinden kan je in dit geval (DV met constante coëfficiënten en een bijzonder rechterlig) de methode van de onbepaalde coëfficiënten toepassen. Deze bestaat erin je rechterlid 'na te bootsen', maar in zijn meest algemene vorm. In dit geval is dat iets van de vorm Ae^-2t.
Dit is je voorstel als particuliere oplossing y_p. Bepaal er ook de eerste en tweede afgeleide van, substitueer in de DV en identificeer dan de coëfficiënt om A te bepalen.

Daarna, als je de oplossing van de volledige vergelijking hebt, kan je de overige twee constanten uniek bepalen aan de hand van de beginvoorwaarden.

mvg,
Tom

td
21-1-2006