WisFaq!

Decimale breuken - deelbaar door 11

Ik heb een stelling gevonden waarin staat dat:
Voor alle n element N geldt 1/n heeft een staartperiode van 2 dan is n deelbaar door 11. Onder de staartperiode van een rationaal getal wordt de lengte van het blokje decimalen dat in zijn decimale ontwikkeling steeds herhaald wordt bedoeld.
Ik heb geprobeerd deze stelling te bewijzen aan de hand van het feit dat elk natuurlijk getal te ontbinden is in een product keer een priemgetal en met het bewijs dat elke repeterende decimale breuk een rationaal getal voorstelt maar dit lukt mij niet. Is er misschien iemand die het wel lukt?

Eva
8-9-2002

Antwoord

Hoi,

Voor een natuurlijke n, hebben we dus:
1/n = 0.abb...
waarbij a uit k cijfers bestaat en b uit 2 verschillende cijfers. Als b niet uit verschillende cijfers zou bestaan, hebben we geen staartperiode van 2. Dit betekent dat b geen 11-voud is.

We hebben ook: 10^k/n = a.bb...
en: 10^k+2/n = 100a + b.bb...
en dus:
(100-1).10^k/n = 100.a+b-a = 99.a + b.
Hieruit: b.n = 99.10^k - 99.a.n
En dus: 11|b.n
b is geen 11-voud, dus moet n een 11-voud zijn.

Groetjes,

Johan

Bemerk dat de stelling niet omgekeerd geldt; bv: 1/77 = 0.012987012987...

andros
9-9-2002