WisFaq!

Berekenen van een integraal met de t-formules

Wat is uitwerking van de integraal van 1/(1+cos²(x)) met als grenzen 0 en 2$\pi$?

Sandie
5-1-2006

Antwoord

Bepaal eerst een primitieve: substitueer t=tan(x); dan volgt cos(x)=1/sqrt(1+t²) en dx=1/(1+t²)dt (want x=arctan(t)). Je vindt dan dat je 1/(2+t²) moet primitiveren. Dat geeft 1/$\sqrt{2}$·arctan(t/$\sqrt{2}$); als je dan t=tan(x) terug invult komt er 1/$\sqrt{2}$·arctan(tan(x)/$\sqrt{2}$).

Nu opletten: de substitutie geldt alleen op het interval (-$\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$) maar als je de grafiek van je functie schetst zie je dat jouw integraal vier maal de integraal van 0 tot $\frac{\pi}{2}$ is en die laatste kun je met de bovengevonden primitieve uitrekenen.

kphart
6-1-2006