WisFaq!

Kromme met parametervoorstelling

Hallo allemaal,

Ik zit met een probleem wat betreft een wiskundeopgave.
Ik wil graag weten of iemand misschien enig idee heeft hoe ik deze moet oplossen.
De opgave luidt als volgt:

Gegeven is de kromme K met parametervoorstelling
x= 6cos t + 2cos 3t
y= 2+2cos 2t

- Druk cos 2t uit in cos t
- Druk cos 3t uit in cos t
- Laat met een zo eenvoudig mogelijke berekening zien dat elk punt van K voldoet aan y³=x²
- Bereken op algebraische wijze de helling van de raaklijn in het punt van de kromme dat hoort bij t=1/3p

Alvast bedankt!

Jen

Jen
18-12-2005

Antwoord

-
cos(2t)=2cos²(t)-1 : staat op je formulekaart en in je boek.
-
cos(3t)=cos(t+2t)=cos(t)cos(2t)-sin(t)sin(2t)=
cos(t)(2cos²(t)-1)-2sin²(t)cos(t)=
2cos³(t)-cos(t)-2(1-cos²(t))cos(t)=
2cos³(t)-cos(t)-2cos(t)+2cos³(t)=
4cos³(t)-3cos(t)
-
x=6cos(t)+8cos³(t)-6cos(t)=8cos³(t)
y=2+4cos²t-2=4cos²t
y³=64cos⁶t
x²=64cos⁶t
Dus y³=x²
-
x'=-24cos²(t)sin(t)
y'=-8cos(t)sin(t)
Bereken nu x'(p/3) en y'(p/3)
De gevraagde helling is dan y'(p/3)/x'(p/3)

hk
18-12-2005